回忆我的老师华罗庚先生 徐利治 前言 华罗庚先生是55年前我在昆明西南联合大学求学时代的老师。2000年11月12日是华老的90周年诞辰，华老的许多弟子和朋友都到了他的故乡江苏省金坛市，参加了隆重的纪念活动。作为华老的 一个老学生，我能有机会应邀作了一次回忆华老的报告，真感到异常兴奋而荣幸。当天大会中的不少发言，都说到了华老往年的音容笑貌和对学生们的严谨而亲切的教导，一切犹如历历在目，都怀有不胜感激之情。我这篇报告的主要内容，已以“回忆我的老师华罗庚”为题刊载在由中国数学会普委会、北京数学会与首都师大主办的《中学生数学》杂志上[见2000，11月上期]。现今我又作了一些修改和补充，由《数学通报》和《数理天地》发表。 一、 50年前的片断回忆 正如王元的著作《华罗庚》一书中所说，抗日战争年代的西南联合大学是一个“藏龙卧虎”之地。当年我前往昆明求学之前，已从报纸上得知自学成才的数学家华罗庚以其著名的《推垒素数论》荣获教育部的一等奖。另外，还从报刊上读到有关他的艰苦奋斗历史和一些有趣的故事。那时候我正好自学了一本胡睿济编著的《整数论初步》，略知数论是一门优美而精深的学科，所以我在西南联大数学系学完了两年课程之后，很自然地怀着高度崇敬的心情，选修了华先生的“初等数论”课程。后来还学了他开设的必修课“近世代数”。记得两门课我都得到了90分的最好成绩。 华先生讲课姿态很灵活，喜欢在黑板前面走来走去，边走边讲。他在黑板上写字不多，只写出那些最必要的算式，而很注重讲问题的来龙去脉和论证思想，有时也穿插讲点小故事。所以听他讲课我感到是一种愉快的享受。 有一次华先生应俞大维部长（抗日战争时期的“国防部长”）之邀出差去重庆期间，曾让他的助教闵嗣鹤先生来领导我们分头报告他编写好的各章数论讲义。我努力把华先生的一章讲义弄懂之后，很高兴地报告了三次，曾得到闵先生赞许。这对我后来喜爱数学教学无形中起到了积极的鼓励作用。 在我的印象里华先生并不看重考试。他教我们两门课程时，一次考试也没有。当然，学生们对他这样的老师是很欢迎的。但他要求我们必须作一批他所指定的习题，最后根据作题的表现状况给我们打分数定成绩。这样，无疑是体现了对青年学生的学习主动性与自觉性的尊重和鼓励。我想，正因为华先生本人是自学成才的，所以他看重人的主动自觉性也就很自然的了。 1945年我从大学毕业后，有幸被留校作华先生的助教。每星期批改一次由华先生授课的近世代数班的习题本。记得当年学生中有一位来自香港的优秀青年名叫陈国才，他的习题做得特别好，可以预见他是最有前途的。后来，他果然成为海外华裔的杰出数学家，但不幸英年早逝了。多年前香港数学会通讯上还有专门文章纪念他。 记得当年华先生讲课的主要特点是，他总是尽力把题材化繁为简，化难为易。有时也对一些数学定理及其证法的妙处，赞叹几句。他曾不只一次地对我说：“高水平的教师总能把复杂的东西讲简单，把难的东西讲容易。反之，如果把简单的东西讲复杂了，把容易的东西讲难了，那就是低水平的表现。”这些话是使我终生难忘的。 还有一次在讲近世代数课时，他对大家说，他在步行来校的路上才真正想通了“许耳引理”（Schur’s lemma）的妙处。一位著名的数学教授，竟能在学生们面前毫无保留地表白对一个著名定理的体会过程，真使大家更加敬重他的坦诚性格和求实精神。 二、 华先生的治学经验及名言 华先生很重视做学问需要有“看家工夫”。所谓看家工夫指的是作科研时必不可少的最基本而有用的本事。据他所说，他的扎实的看家工夫主要来源于三部经典著作。 一是克里斯托尔（G.Chrystal）的《代数学》，二是兰道（E.Landau）的《数论教程》（三大卷），三是特恩波尔（W.H.Turnbull）与爱德肯（A.C.Aitken）合著的《标准矩阵论》。他说，《代数学》使他学会了计算技巧，《数论教程》使他获得了从事数学研究的分析功底，而《标准矩阵论》虽是一本薄薄的书，却是帮助他后来完成“矩阵几何”和“复分析”巨大研究成果的基本工具。 记得北京大学数学系前系主任段学复教授，50年代在清华大学任教时期曾对我说过，据他所知华先生在青年时代即精读兰道的三卷巨著，共作了6大本笔记，可见其功夫之深。《标准矩阵论》这本老书，曾由华先生传给了闵嗣鹤先生，后来又由闵先生传给了我。至今保存在我家已有50余年了。从这本老书中还可以看到当年身为名教授的华先生曾作过书中习题的痕迹。 19世纪初叶的杰出数学家阿贝尔（N.H.Abel）曾有这样的经验和见解：“只有直接面向名家的原著才能最有效地取得宝贵的知识和智慧。”显然华先生成功的经历与阿贝尔的成才经验及见解是完全一致的。 读到读书的方法问题，华先生自有一套深刻的独到见解。我们曾多次听他说过“读书要从薄到厚，再从厚到薄”的道理。当然这也是他自己读书成功的经验之谈。他的经验是，首先要作好读书笔记，笔记中要补充书中的不足之处，包括补足定理证明的缺陷等等。还要选作书中的习题。这样就好象是把薄书读成厚书了。他还说过：“读数学书而不作习题，真好象是入宝山而空返。”进一步是要努力提炼出书中题材的基本要点和核心内容以及论证方法的关键所在。因为要点、核心和关键经过分析、概括和彻底理解后也就会变成直观上一目了然的东西，显然只须用极小的篇幅即可记录下来，所以厚书也就变成薄书了。 对待探索性科学研究，华先生认为在工作过程中出现些差错是常有的事。他说：“只有庙宇里的菩萨才不会出错误，凡是研究工作做得越多的人，出现差错的机会也就会越多。”这和法国已故分析学大师阿达玛（J.Hadamard）的观点正好是不谋而合的，真是英雄所见略同。阿达玛曾在他的著作《数学领域中的发明心理学》一书中说过，“在数学中我们不怕出错误，实际上错误是经常发生的。”他还说：“就他自己（阿达玛）而言，所发生的错误往往比他的学生所发生的错误还多。但由于他总是不断地加以改正，故在最后的结果中，就不会再留有这些错误的痕迹。” 事实上，从事数学创造性研究工作，一般都免不了要经历“猜测—不断试证—不断纠错—确证真理”等步骤，所以杰出的数学家们都会有雷同的经验和观点也就不足为奇了。 数十年前当华先生在数学上取得卓越的重大成就而享有盛誉之后，一般人常把华先生称赞成“天才”。实际上他个人并不认可“天才”的说法。记得有两次他曾和我谈论到有关人类智力的看法。他认为一般正常人的天赋智能其实是差别很小的。但由于人们实际生活环境与条件的不同，智能被开发的程度不同，才使人们的智能在表现上有所差别。他常说他自己的科学工作成就主要靠勤奋，还常用“勤能补拙”的成语来勉励我们。 往年，在昆明西南联大时代，每次我去华先生家拜访求教时，总是看到他安然自若地坐在一个吃饭用的大方桌边作研究。我的印象是，他喜欢在饭桌上写作，而并没有固定的书房和写字台，也没有象样的沙发椅。 我做他的助教时，他曾问我：每天工作几小时？我回答说“大概每天搞数学三至四小时吧。”他说：“这么少时间搞数学怎么够！工人每天还要工作八小时呢。”听他这么一说，我真是很感惭愧，心想：做老师的每天工作时间比我的两倍还多。 三、 华先生的工作特色与价值观 华先生在数论、代数、几何与复分析等领域的卓越成就及贡献，已在王元的《华罗庚》传中作了很好的介绍。这里我只想从宏观的角度谈一些华先生工作的主要特色与有关的价值观念。这对继续发展我国的数学教育来说，应该会有相当的参考价值。从华先生的许多著作可以看出，他丰硕的数学工作成果所反映的“价值观”主要表现为：追 求简易、重视技巧、寻求显式、坚持构造和看重应用。所以在一定程度上，华先生和著名的德国数学家雅可比（C.G.J.Jacobi）、克罗内克（L.Kronecker）以及兰道颇有类似的工作特色。就善于用初等方法处理艰难问题的这种本事来看，他又和杰出的已故匈牙利数学家爱尔特施（P.Erdos）十分相似。 大家知道，杰出的分析家兰道的写作风格是：简洁、精巧和严谨。华先生对此极为赞赏。事实上，华先生的著述和作文也很象兰道的风格。然而，又因为华先生还有很好的文学底子，所以他的那些表现在科普作品的写作技艺方面，却不是兰道可比的。 在科研工作中，为获取创新成果，华先生很象欧拉（L.Euler）和高斯（C.F.Gauss）那样，十分重视计算、观察、归纳和分析。他曾对我说过，如果想了解他的研究工作全过程，那就最好从他桌旁的纸篓里去找出他的大量草稿纸来看。当年我虽然没有那样去做，但我从华先生的言谈中，以及后来读了欧拉和高斯的传记之后，就逐渐领悟到他们的科研工作方法实际上是极为相似的。我并未问过华先生是否读过高斯传记，但平时听他的言谈，确切得知他对 高斯的“从归纳到论证”的思想方法是极为通晓而崇敬的。 在看待数学工作成果的价值时，华先生对“数学思想”和“数学技巧”两个方面是并重的。有时甚至把数学思想放到更高地位。例如，他曾不只一次地对我谈到了“数学家”与“数学匠”的两个不同概念。他的意思是说，数学家应该是既有高明的创新思想，又有高明的方法技巧。如果只重视技巧而缺乏高明思想那就至多只能成为数学匠了。当然，为了解决大量有一定应用价值的理论与实际问题，能精心细作的数学匠队伍也是非常需要的。 此外，华先生还很强调“联想”在数学创造性研究过程中的作用。这里我想起了半个世纪前的一个真实故事。记得1946年春云南省发生“昆明事变”之后不久，我去昆明郊外华家看望华先生时，他告诉我说，城里响了几天枪炮声，他是闭院不出，天天在院子里躺在帆布床上仰观天空中的白云变幻，忽然有一次由联想使他得到了一个美妙的数学新思想。他没有谈论细节，但我知道那个时期正是他科研的高产时期，每年都有不少佳作寄往美国发表。例如，那时期他在美国的好友徐贤修先生曾在一次来信中告诉他，他在美国一年内发表的多篇论文的总页数多达一百数十页。 上述真实故事也正好说明了，华先生的一个数学新思想（或数学灵感）产生的机遇和宋代大文豪欧阳修所说的“三上文章”的经验是非常相似的。欧阳修曾说过，他的佳作都是“三上文章”，那就是在“马上”、“厕上”和“枕上”形成文思后产生的文章。如此看来，产生文学灵感和数学灵感的心理机制及情境条件可能是一模一样的。正如国内外一些数学家所评述，华先生和印度天才数学家拉马努金（S.Ramanujan, 1887-1920）颇有不寻常的相似之处： （i） 他们都出生于东方文明古国的清贫家庭。 （ii） 他们都是自学成才的数学人物。 （iii）他们都是精于演算技巧并且对于“数学的形式结构”都具有特别悟性的计算大师。例如，拉马努力金特别擅长于无穷连分式与无穷乘积等解析式子的算法技巧，并有一种独特的直觉力使他能猜到或验证许多精美奇妙的公式，而为世人所赞叹。相似地，华先生操作矩阵运算就象是摆弄普通数字那样得心应手，因而能顺捷地得到了“矩阵几何”等方面的一系列极为优美的构造性成果，而为数学界所称道。 然而，拉马努金由于长期食物营养不良而英年早逝。他的工作成果始终保持着某种原创性的独特个性，而他未能发展成为一个完全成熟了的能进入数学主流中去的数学家。华先生的情况则有所不同。他一生中虽然遭受过王元著作中所说的“三大劫难”，但总算具有较强的环境适应能力，以致能活到75岁。他的博学多闻、勤奋努力加悟性，还使他的工作活动能融合到世界数学主流中去，所以终于成为中国现代数学事业的奠基者和领航人。 一般理论数学家往往只顾研究，不愿多谈应用。华先生与众不同，他一贯强调数学的应用价值，并且身体力行，为推广数学应用而效力。例如，70年代前后他带领工作组不知疲劳 地在国内各地大力推行简易实用的“优选法”，为生产实际部门创造了很可观的经济效益，那确实是十分感人的事绩。作为华先生多年助手的国家计量学院前院长谢庭藩教授，在金坛 市的纪念活动中，还专门介绍了华先生及其弟子们在统筹与优选法方面的理论贡献。足见华先生对貌不惊人的应用课题也同样是怀有巨大热忱的。 四、 后 记 我有幸从青年时代起就从华先生那里获得了终生难忘的教益： 一是向他学到了不怕计算和乐于计算的精神。正是这种精神帮助我培育了一些“硬分析”工夫。 二是在他的教学与科研风格影响下，使我较早地形成了“追求简易”和“重视显式结构”的观点。这些观点对我后来研究函数逼近论与计算数学以及组合数学都是大有帮助的。 三是华先生的兴趣广泛性格以及对治学方法的见解，启发我养成了爱读数学发展史和科学方法论的习惯。这样，终于使我有机会能在1980年左右开始在国内三所大学讲授“数学方法论”课程，并于1983年出版了一本颇为畅销的《数学方法论选讲》。现今此书已有第三版问世。 记得抗日战争胜利前一年，华先生曾应邀出差去重庆（抗战时期的陪都）为当时的国防部门解决一个关于日军军用密码的破译问题。华先生以其卓越的慧眼很快识破日军密码的转换工具即数论中的麦比乌斯（Mobius）公式。这一令人惊喜的信息，曾鼓舞了我与当年的概率论课程老师钟开莱先生（现为美国斯坦福大学终身教授）合作写成一篇用麦比乌斯反演公式求 解一类组合概率计算问题的文章（发表于1945年美国统计数学年刊）。后来我自己以及与我的年青合作者又一起在海内外发表了数篇有关广义麦比乌斯反演公式及其应用的论文。饮水思源，这一切都要感谢当年华先生的知识传授与启示。 最后要说的是，在我大学毕业时，正是由华先生的推荐和当年数学系主任杨武之先生的首肯，才使我有机会留校从事数学工作。实际上这也是使我后来能享有漫长的“数学生涯” 并能得到顺利发展机会的人生关键一步。所以今天来纪念我的已故老师时，很自然地怀有一种深深的崇敬和铭感之情！ 我衷心祝愿有志于数学科学事业的年青一代继承和发扬华老艰苦奋斗、刻苦钻研、无私奉献的精神，将为我国的科技与科教事业作出更大贡献。